随机微分方程包括鞅表示论、变分不等式和随机控制等内容。  近年来,随机微分方程有了迅速发展,其理论广泛应用于经济、生物、物理、自动化等领域。本课程分为十个章节，前五章讲授随机微分方程的基本概念、强解与轨道唯一性、鞅问题，弱解与分布唯一性、漂移变换、扩散过程、一维随机微分方程，后五章内容包括具有边界的随机微分方程、随机微分同胚流、偏微分方程的概率解法、倒向随机微分方程、随机微分方程的应用。

知识目标
1. 掌握与随机微分方程相关的概率论基础知识，包括概率空间、随机变量、随机变量的数字特征、随机变量的独立性、随机变量序列的不同收敛性以及随机变量序列的极限定理。理解条件期望与期望的异同，并能够熟练应用条件期望的性质。
2. 学习与随机微分方程密切相关的随机过程的基础知识，了解随机过程的定义和性质；理解计数过程、泊松过程、马尔可夫过程等常见随机过程；掌握布朗运动的定义、性质以及不同构造方法；了解停时、鞅、半鞅、局部鞅等与随机过程相关的重要概念。
3. 掌握一维伊藤随机积分和多维伊藤随机积分的定义和性质，包括线性性、鞅性、可测性和连续性；了解伊藤随机积分与黎曼积分以及勒贝格积分区别，从而清楚伊藤随机积分产生的背景和动机；重点掌握随机版本的链式法则——伊藤公式，并在此基础上掌握估计伊藤随机积分高阶矩的Burk-Holder-Davis不等式。
4. 基于伊藤随机积分，了解随机微分方程的基本概念；能够区分随机微分方程的强解和弱解；熟悉Langevin方程、Ornstein-Uhlenbeck方程以及Black-Scholes模型等常见的重要随机微分方程；掌握使用伊藤公式给出随机微分方程解的表达式。
5. 掌握随机微分方程在系数满足全局Lipschitz条件下强解的存在唯一性；通过与确定微分方程解的存在唯一性定理的比较，了解随机微分方程与确定微分方程的区别和联系；了解随机微分方程解的矩稳定性、几乎处处稳定性、渐近稳定性等稳定性概念和估计；了解与随机微分方程相关的鞅问题。
6. 了解具有边界的随机微分方程的基本概念；掌握具有边界的随机微分方程解的存在唯一性定理；了解具有边界的随机微分方程解的性质，例如，稳定性和高阶矩的性质；了解掌握具有边界的随机微分方程在相关领域中的应用。
7. 了解微分同胚和随机流的概念与性质；掌握随机微分方程解在方程系数满足全局Lipschitz条件下形成随机同胚流；从随机微分方程是微分同胚随机流的观点来理解随机微分方程相当于随机差分方程连续时间极限的斯特拉托诺维奇版本；了解随机微分方程同胚流的性质有助于从动力学的角度获得随机微分方程更丰富的结构内容。
8. 了解偏微分方程概率解法的基本思想和发展历程；介绍偏微分方程概率解法在大偏差理论、最优控制论、鞅问题、变分和拟变分不等式等偏微分方程理论和随机微分方程理论中的重要应用；理解二阶抛物型偏微分方程的解可以视为随机微分方程解的泛函；了解概率解法在二阶拟线性偏微分方程中的推广应用和研究现状。
9. 了解倒向随机微分方程是带有终点条件的随机微分方程，在随机控制、金融数学与非线性费曼-卡茨公式中具有重要应用；掌握线性倒向随机微分方程在全局和非全局Lipschitz条件下解的存在唯一性定理；了解非线性倒向随机微分方程在全局Lipschitz条件下解的存在唯一性定理。
10.	了解随机微分方程不同模型在不同领域中的相关应用，具体包括：
（1）金融学模型：随机微分方程在金融学中被广泛应用于股票价格、利率、期权定价等方面的建模。例如，布朗运动模型和几何布朗运动模型被用于描述股票价格的随机波动。
（2）自然科学模型：随机微分方程在物理学、化学和生物学等自然科学领域中也有重要的应用。例如，随机扩散过程模型可以描述颗粒在液体中的随机运动，而随机化学反应模型可以描述化学反应中的分子碰撞和反应速率的随机性。
（3）系统控制模型：随机微分方程在控制理论中起着重要作用。例如，卡尔曼滤波器和扩散控制模型可以用于估计和控制具有噪声干扰的动态系统。
（4）统计学和机器学习模型：随机微分方程在统计学和机器学习中也有广泛的应用。例如，随机微分方程可以用于建模时间序列数据并用于预测和分析。此外，随机微分方程还可以用于生成具有随机性质的数据，用于训练和评估机器学习模型。

能力目标
1. 通过《随机微分方程》课程的学习，培养学生具备随机微分方程的数学基础，能够熟练运用该课程的基本知识、基本理论和基本方法进行分析和运算。例如，能够熟练掌握伊藤随机积分的定义、伊藤公式、随机微分方程解的存在唯一性、随机微分方程解的稳定性和随机流等性质、偏微分方程概率解法、倒向随机微分方程以及随机微分方程在不同领域中的应用。
2. 提高学生思考问题和解决问题的能力，能够熟练运用《随机微分方程》课程的相关知识解决实际问题，培养创新思维和实践能力。
3. 培养学生具备良好的数学素养，包括严谨的逻辑思维能力、较强的抽象思维能力以及良好的数学语言表达能力。
4. 引导学生掌握科学研究的基本方法，培养自主学习和终身学习的能力，为未来的学术研究和职业发展奠定坚实的基础。

思政目标
1. 培养学生的科学精神和人文素养：通过《随机微分方程》课程的学习，引导学生树立科学的世界观和方法论，培养严谨的学术态度和求真务实的精神。
2. 培养学生的团队协作精神和沟通能力：通过小组讨论、合作研究等方式，促进学生之间的交流与合作，培养学生的团队意识和沟通能力。
3. 引导学生树立正确的价值观和人生观：通过《随机微分方程》课程的学习，引导学生认识数学在社会发展中的重要作用，培养学生努力学习、报效国家的崇高志向。
4. 培养学生的爱国情怀和民族精神：通过介绍《随机微分方程》课程的发展历程以及马志明、彭实戈等我国著名数学家在随机分析和随机微分方程领域的贡献，激发学生的民族自豪感和民族自信心。