本课程是数学与应用数学专业、数理基础科学专业（数学方向）的基础课。它的思想与方法对现代数学的发展产生了深刻的影响，其基本理论是现代数学各分支的基础，在数学的发展中起到承上启下的作用。学习实变函数，不仅要掌握其基本知识，思想和方法，更为重要的是要培养学生深入细致的分析能力，严密的逻辑推理能力，为以后的学习打下扎实的基础。本门课程的核心内容是勒贝格（Lebesgue）测度和勒贝格积分理论，主要讲授点集的有关概念、勒贝格测度、可测函数、勒贝格积分等。该课程学分数3，周学时3， 共54学时。学习这门课程，需要的预备知识为数学分析的基本内容。

知识目标
1. 了解集合和元素的概念，掌握集合的并、交、差、补以及上下极限等不同运算的定义和计算；理解集合中元素“个数”的多少，以及怎样从有限集的“个数”推广到无限集的“基数”；能够区分可数集合和不可数集合，特别是重点掌握可数集合的定义、特征以及加法运算的结论。
2. 以度量空间为例了解一般集合赋予特定“结构“就成为“空间”的数学思想；掌握有限维欧氏空间的定义以及利用邻域定义收敛的想法；了解点与集合的关系，能够判断内点、外点、界点以及聚点和孤立点；重点掌握开集与闭集这两类特殊点集；了解直线上开集、闭集以及康托尔三分疏朗集的构造。
3. 了解勒贝格利用内测度和外测度定义勒贝格可测集以及勒贝格测度的思想和做法；掌握利用勒贝格外测度以及卡拉泰奥多里条件判别集合可测的方法，以及可测集的运算性质；了解可测空间、勒贝格可测空间、博雷尔可测空间以及知道并不是所有的集合都是可测的。
4. 了解可测函数的定义、性质；了解可测函数与连续函数的区别与联系，以及掌握叶戈罗夫定理；熟悉可测函数与简单函数的关系，以及掌握卢津定理；了解可测函数序列的几乎处处收敛和依测度收敛的概念、区别与联系以及相关的结论。
5. 掌握非负简单函数的勒贝格积分、非负可测函数的勒贝格积分以及一般可测函数的勒贝格积分的不同定义，从而了解勒贝格积分从特殊到一般、从简单到复杂的数学处理思想；重点掌握极限运算与勒贝格积分运算之间的交换关系；了解黎曼积分的局限性和勒贝格积分的优越性。
6. 了解单调函数的可微性以及有界变差函数的基础上，进一步掌握勒贝格积分与导数之间的关系；作为勒贝格积分的推广，了解黎曼-斯蒂尔切斯积分和黎曼-斯蒂尔切斯测度。
能力目标
1. 培养学生具备扎实的数学基础，以及严谨的数学分析意识，能够熟练运用《实变函数》课程的基本知识、基本理论和基本方法进行分析、运算和推理。例如，能够熟练掌握集合论、可数集与不可数集、开集与闭集、可测集与可测函数、勒贝格积分等知识。
2. 提高学生思考问题和解决问题的能力，能够熟练运用《实变函数》课程的相关知识解决实际问题，培养创新思维和实践能力。例如，熟悉积分与极限可交换的条件，以及能够与《数学分析》中积分与极限交换条件的异同。
3. 培养学生具备良好的数学素养，包括严谨的逻辑思维能力、较强的抽象思维能力以及良好的数学语言表达能力。例如，勒贝格可测集以及勒贝格测度产生的思想，以及勒贝格积分从特殊到一般、从简单到复杂的数学处理思想。
4. 引导学生掌握科学研究的基本方法，培养自主学习和终身学习的能力，为未来的学术研究和职业发展奠定坚实的基础。
思政目标
1. 培养学生的爱国情怀和民族精神：通过介绍《实变函数》课程的发展历程以及陈建功、江泽涵等我国著名数学家在实函数领域的贡献，激发学生的民族自豪感和民族自信心。
2. 培养学生的科学精神和人文素养：通过《实变函数》课程的学习，引导学生树立科学的世界观和方法论，培养严谨的学术态度和求真务实的精神。
3. 培养学生的团队协作精神和沟通能力：通过对《实变函数》课程进行小组讨论、合作研究等方式，促进学生之间的交流与合作，培养学生的团队意识和沟通能力。
4. 引导学生树立正确的价值观和人生观：通过《实变函数》课程的学习，引导学生认识数学在社会发展中的重要作用，培养学生努力学习、报效国家的崇高志向。